Formatodescargable. - La divisibilidad, muchos docentes responderían al planteamiento anterior en términos muy simples: de criterios de divisibilidad (por 2, por 3, etc.), de descomposición de un número en factores primos para calcular el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo de dos números, y ya. Y todo ello tratado de una forma práctica, reducida a cómo se hacen las cosas, a las reglas correspondientes a cada caso.
Sin embargo y como lo iremos viendo a lo largo de este Cuaderno, el tema de la divisibilidad se refiere al estudio de los números naturales desde la perspectiva de su composición multiplicativa, es decir, pensando en que todo número natural siempre puede describirse como producto de varios factores. De esta consideración tan sencilla y de la curiosidad e intuición de algunas personas arrancó en la historia de la matemática un estudio muy amplio que abarca conceptos, relaciones, propiedades, regularidades y también aplicaciones. Los ejercicios planteados al comienzo dan una breve idea de por dónde pueden ir las cosas.
Y para entendernos mejor en lo que sigue, vamos a establecer el vocabulario básico del tema. Si planteamos, por ejemplo, la multiplicación 5 x 8 = 40, decimos que:
40 es múltiplo de 5 y de 8 el producto es múltiplo de cada uno de sus factores 40 es divisible por 5 y por 8 el producto es divisible por cada uno de sus factores 5 (y también 8) es divisor de 40 cada uno de los factores es divisor del producto 5 (y también 8) divide a 40 cada uno de los factores divide al producto.
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Es preciso hacer una pequeña aclaratoria con respecto al término “divisor”, utilizado también en las divisiones entre números naturales (Cuaderno 7). En ese contexto, divisor es el número por el que se divide el dividendo, para producir un cociente y un resto. Si la división no es exacta, ese “divisor” no puede ser considerado como un “divisor” del dividendo en términos de lo planteado en el campo de la divisibilidad. Por ejemplo, el divisor 7 en la división 40 : 7, no es un “divisor de 40” en términos de divisibilidad. En lo que sigue nos referiremos a divisor en estos últimos términos.
Así, 7 es divisor de (divide a) 0, 7, 21, 49, 105, etc. Es decir, de todos los productos de su tabla de multiplicar, que es ilimitada. Análogamente, 36 es múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, es decir, de todos y sólo de los números que lo tienen como producto en sus respectivas tablas de multiplicar. Ahora ya podemos precisar un poco más:
Hablar de divisibilidad en el conjunto de los números naturales es hablar de los divisores y múltiplos de esos números, así como de las relaciones que pueden establecerse entre tales números al considerarlos como múltiplos y divisores unos de otros.
A partir de los casos anteriores y de otros similares, empezamos ya a descubrir ciertas regularidades (después iremos precisando otras). Por ejemplo:
■ 0 es múltiplo de todos los números naturales (cualquier número multiplicado por 0 da 0 como producto).
■ 0 no es divisor de ningún número natural positivo (¿por qué?).
■ 1 es divisor de todos los números naturales (al multiplicar cualquier número por 1 se obtiene ese mismo número como producto).
■ 1 sólo es múltiplo de sí mismo (¿por qué?).
■ Todo número es múltiplo y divisor de sí mismo (¿por qué?).
■ Todo número es múltiplo de sí mismo y de la unidad (¿por qué?).
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