Formatodescargable.- ¿Qué es la división de números naturales? De entrada, nos encontramos con una diferencia sustancial con respecto a las tres operaciones anteriores: adición, sustracción y multiplicación. En esos tres casos se trata de una operación aritmética según la cual a cada par de números naturales se le hace corresponder otro número natural: su suma, su diferencia (si el primer número del par no es menor que el segundo) o su producto, respectivamente.
En el caso de la división de números naturales, no siempre a cada par de números (dividendo y divisor) se le puede hacer corresponder un solo número natural (cociente): esto sólo ocurre en la división exacta. En el caso más general, se le suele hacer corresponder otro par de números: el cociente y el residuo o resto de la división (Maza, 1991; Vergnaud, 1991). Así, por ejemplo, al par (38, 7) se le hace corresponder el par (5, 3); al par (41, 2), el par (20, 1); al par (15, 23), el par (0, 15); etc. Obsérvese que esta forma general incluye el caso de las divisiones exactas, de residuo 0: al par (24, 6) se le hace corresponder el par (4, 0).
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Pero –aun con esta salvedad– la anterior sigue siendo una manera “formal” de decir las cosas que no nos aclara mucho, ya que debemos precisar cómo es que se divide, es decir, cómo se llega al par (5, 3) partiendo de 38 y de 7.
Para ello vamos a referirnos a dos conjuntos, A y B, cuyos cardinales son 38 y 7, respectivamente. Como en el caso de la sustracción, construimos el conjunto A – B (complemento de B con respecto a A), que denotaremos A1 y cuyo cardinal sería 38 – 7 = 31. Como el cardinal de A1 sigue siendo mayor que el de B, construimos A1 – B, que denotaremos A2 y cuyo cardinal sería 31 – 7 = 24.
A – B = A1
A1 – B = A2
31 – 7 = 24
A2 – B = A3
24 – 7 = 17
A3 – B = A4
17 – 7 = 10
A4 – B = A5
10 – 7 = 3
De este modo podemos obtener una secuencia de conjuntos Ai hasta llegar a un An cuyo cardinal sea menor que 7. En nuestro caso, la secuencia de tales cardinales continúa así: de A3, 17; de A4, 10; y de A5, 3. ¿Cómo interpretar estos valores finales? El subíndice 5 indica cuántas veces hemos procedido a obtener conjuntos “complementos de… con respecto a …”.
Este valor se identifica como el cociente de la división. Y el cardinal del último de tales conjuntos, 3, como el residuo o resto de la división.
Dos precisiones resultan evidentes en este proceso. En primer lugar, el conjunto B no puede ser vacío (su cardinal debe ser ≠ 0), pues en caso contrario el proceso es irrealizable. Y en segundo lugar, el residuo de la división debe ser menor que el divisor, pues en caso contrario la secuencia de conjuntos complementarios quedaría incompleta.
El cociente de dos números naturales representa, pues, el número de veces que el cardinal de un conjunto B puede “restarse” del cardinal de un conjunto A y de la serie de diferencias sucesivas originadas por tales restas. Y el resto o residuo representa el cardinal del conjunto al que no puede “restarse” ya el cardinal del conjunto B.
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