Formatodescargable.- ¿Qué es la potenciación de números naturales?
Veamos estos ejemplos. El área de un cuadrado cuyo lado mide 3 metros se obtiene multiplicando esa medida por sí misma: área = 3 m x 3 m = (3 x 3) m2.
Si disponemos ahora de un cubo cuya arista mide 6 cm y queremos calcular su volumen, sabemos que éste se obtiene multiplicando la medida de esta arista por sí misma tres veces: volumen = 6 cm x 6 cm x 6 cm = (6 x 6 x 6) cm3.
Supongamos, finalmente, que estamos participando en un juego de conocimientos y que con cada respuesta acertada duplicamos los puntos obtenidos anteriormente.
Si la puntuación inicial es 1 y un participante falla en su sexta pregunta, se retirará con 2 x 2 x 2 x 2 x 2 puntos, fruto de sus cinco respuestas correctas.
Las tres multiplicaciones mostradas (3 x 3; 6 x 6 x 6; 2 x 2 x 2 x 2 x 2) son singulares: en cada una de ellas se repite el factor. La operación que consiste en multiplicar un factor reiteradamente se denomina potenciación. Como puede observarse, no se trata realmente de una operación nueva en sentido estricto, sino de un caso particular de la multiplicación de números naturales, así que todo lo dicho al respecto en el Cuaderno anterior sigue conservando ahora su validez.
Pero, como veremos a lo largo de este Cuaderno, vale la pena detenernos en el estudio particular de la operación (así la consideraremos en adelante) de potenciación en virtud de sus singularidades, por la posibilidad que nos ofrece de ampliar las formas de representación de los números y potenciar nuestra capacidad de cálculo mental, por las propiedades que le son inherentes, por la variedad de problemas que nos permite plantear y resolver, por el esfuerzo de observación que nos exige permanentemente…
La representación de una potencia Cada multiplicación de factores reiterados recibe el nombre de potencia y tiene su forma peculiar de escribirse. Así, 6 x 6 x 6 se escribe 63. Los elementos que intervienen en esa expresión tienen su propia nomenclatura:
6 se denomina base de la potencia; es el factor que se reitera. 3 se denomina exponente de la potencia; indica el número de ve ces que se repite la base como factor. 63 se denomina potencia de base 6 y exponente 3; 63 = 6 x 6 x 6 = 216.
Existen otras formas habituales de referirse a una potencia. Por ejemplo, 25 se puede leer: 2 elevado a la quinta; 2 a la quinta; la quinta potencia de 2. Lo de “elevado” hace referencia a que el exponente se escribe más alto que la base… En cambio, no resulta acertado expresar “2 elevado a la quinta potencia”, ya que el término “potencia” aparece ahí como redundante.
Cuando se trata de los exponentes 2 y 3 la lectura varía. Así, 32 se puede leer “la segunda potencia de 3”, “3 elevado al cuadrado”, o simplemente, “el cuadrado de 3” o “3 al cuadrado”. Análogamente, 63 se puede leer “la tercera potencia de 6”, “el cubo de 6”, “6 elevado al cubo”, o “6 al cubo”. El uso de los términos “cuadrado” y “cubo” hace referencia a las situaciones geométricas expuestas en los ejemplos del comienzo del punto anterior: el área de un cuadrado se calcula mediante la potencia a2 (a: longitud del lado) y el volumen de un cubo, mediante la potencia a3 (a: longitud de la arista). De donde se sigue la asociación de los exponentes 2 y 3 con los términos cuadrado y cubo, respectivamente.
Agreguemos que suele denominarse “primera potencia de un número” al propio número. Así, la primera potencia de 7 es 7. Simbólicamente, 71 = 7 (sobre esto volveremos posteriormente).
Las regularidades presentes en las potencias Pudiera pensarse que no hay muchas más cosas que decir acerca de las potencias y que bastaría con saber “leerlas” y calcular su valor, es decir, que si se nos aparece 25, debemos saber que su valor es 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32. Y así en los demás casos. Sin embargo, una de las primeras cosas que debemos hacer es habituarnos a proceder en sentido inverso, esto es, a identificar las potencias cuando éstas se nos presentan desarrolladas. Por ejemplo, en el caso anterior, saber que 32 es la quinta potencia de 2.
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