Formatodescargable.- Ordenar fracciones de acuerdo con su valor no es algo complicado. Si éstas vienen dadas en los sistemas de representación decimal, porcentual o punto sobre la recta, el asunto está resuelto: sólo hay que saber ver (puntos sobre la recta) o comparar números enteros (porcentajes) o decimales.
Si las fracciones vienen expresadas en cualquier otro sistema, la manera más sencilla de determinar cuál es la mayor de dos dadas es –como ya lo decíamos en el Cuaderno anterior– traducirlas a su expresión decimal y decidir en consecuencia. De todas formas, vamos a explorar algún otro procedimiento –dentro del propio sistema de representación numérico– para el caso de fracciones expresadas en este sistema.
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Si las fracciones poseen el mismo denominador, tampoco hay problema alguno: basta comparar los numeradores y decidir en consecuencia. Así, 6/13 es mayor que 5/13 porque en la primera se consideran más partes congruentes del todo que en la segunda. El problema puede presentarse cuando las fracciones poseen denominadores distintos.
Tomemos el ejemplo de las fracciones 1/4 y 3/11 . En principio no sabemos “dónde hay más”, pero la vía de averiguación luce evidente: llevemos las dos fracciones a un denominador común.
Reducir dos fracciones a un denominador común consiste en hallar un par de fracciones respectivamente equivalentes a cada una de ellas y que posean el mismo denominador. La prioridad está, pues, en la búsqueda de ese denominador. Por lo que dijimos en el Cuaderno anterior acerca de las fracciones equivalentes, ese denominador común debe ser fruto de una amplificación de los dos dados (o, al menos, de uno de ellos), lo que significa que ha de ser múltiplo de ambos. Es decir, común. El primero que satisface la condición de ser múltiplo común es, precisamente, el mínimo múltiplo común. Por consiguiente, el denominador común más pequeño es el mínimo múltiplo común de los dos denominadores dados.
Al dividir ese denominador común entre cada uno de los denominadores iniciales logramos descubrir cuál es el factor de amplificación que se va a utilizar en cada fracción. Si ahora lo aplicamos a los respectivos numeradores, conseguiremos las dos fracciones equivalentes a las dos iniciales, y con un denominador común.
En el ejemplo anterior ( 3/11 y 1/4 ), para buscar las fracciones equivalentes hallamos primero el denominador común: m.m.c.(11, 4) = 44. El factor de amplificación para la primera fracción es 44 : 11 = 4, y para la segunda, 44 : 4 = 11. Los respectivos numeradores serán: 4 x 3 = 12, y 11 x 1 = 11. Las dos fracciones equivalentes son, respectivamente, 12 y 11. Ahora se “ve” que 3/11 es mayor que 1/4.
No siempre el m.m.c. de los dos denominadores coincide con su producto (ya sabemos que esto sólo ocurre cuando los dos números son primos relativos, como vimos en el Cuaderno nº 8). Por ejemplo, para el caso de 7 y 15, se tiene: m.m.c.(12, 28) = 84. El factor de amplificación para la primera fracción es 84 : 12 = 7, y para la segunda, 84 : 28 = 3. Los respectivos numeradores serán: 7 x 7 = 49, y 3 x 15 = 45. Las dos fracciones equivalentes son, respectivamente, 49 y 45 . Y “se ve” que 7/12 es mayor que 15/28.
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